Ejercicios de masa, volumen y densidad

Buenas tardes…

Hoy os voy a enseñar ejercicios sobre la masa, volumen y densidad.

1. Un cuerpo sólido de cierto material, se midió su masa y se encontró un valor de 700 gramos; al medir su volumen este fue de 2,587 centímetros cúbicos. 

a) Calcular la densidad en el SI (Sistema Internacional).

Sabemos que la de densidad = m/V = 700 g/2,587 cm3, pero como nos piden la densidad en el S.I. tendremos que pasar los gramos a Kg y los cm3 a m3, por tanto:

d = (700 x 0,001) / (2,587 x 0,000001) = 270583 kg/m3

b) El volumen es el único que hay, el del enunciado V=2,587 cm3 y nos piden pasarlo a ml. Primero tenemos que pasarlo a dm3, que serán los litros. 2,587/1000000 = 0,002587 dm3 o litros. Para pasarlo a ml, tendremos que multiplicarlo x10 dl x10 cl x10 para ml, es decir x 1000 = 2,587 ml

2. ¿Que volumen debe tener un tanque cilíndrico para que pueda almacenar 3,4 toneladas de gasolina cuya densidad es de 680000 g/m3? ¿Y que altura tendrá el tanque si su diámetro son 400 cm?

a) Nos piden el Volumen. Sabemos que d = m/V, por lo tanto V x d = m, es decir V = m/d

V= 3,04 t / 680000g/m3

Pasamos las toneladas a gramos para poder dividir

V= 3,04 x (1000000 g)/ 680000 g/m3 = 4,47 m3

b) Nos piden la altura del tanque cilíndrico que contiene 4,47 m3

Volumen del círculo = Ab x h = πr² x h

Despejando la h = Vcirculo / (πr²) = 4,47 / (π x (200cm)²) = 4,47 m3 / (π x (200cm)²)

Pasamos los cm a metros

h = 4,47 m3 / (3,14 x (2m)²) = 0,3558 m

comprobación matemática de la proporción Áurea en los rectángulos de la Espiral Áurea

Hola a todos,

Hoy vamos a demostrar que el ejercicio anterior de construcción de la Espiral, los rectángulos cumplen con la Proporción Áurea.

1. Primero abrimos Autocad Web.
2. Nos ponemos encima del archivo rectángulo áureo, botón derecho, hacemos una copia.
3. Nos situamos sobre la copia, botón derecho, cambiar nombre: Comprobación proporción áurea.
4. Tiramos la diagonal, construimos el rectángulo en la esquina superior derecha.
5. Con anotación, cotas, marcando las cotas y situándolas fuera de las líneas acotamos los tres rectángulos:

Ahora comprobamos que se cumple la proporción áurea en los tres rectángulos l/a = 1,618

161,8/100 = 100/61,8 = 61,8/38,2 = 1,618

Trigonometría básica para el diseño

Buenas tardes!

Hoy vamos a realizar un ejercicio sobre trigonometría de una forma muy fácil para entenderlo todos.

Con la imagen podréis ver las TRES formulas básicas para realizar los ejercicios que voy a plantear.

1. Queremos calcular la altura de un edificio sabiendo que la sombra mide 35 metros y su ángulo con el suelo es de 30º. ¿Cómo calcularíamos la altura del edificio?

Observamos las tres formulas y la que nos puede a ayudar al calculo de la altura sería la de la tangente 

Tg (α) = sen (α) / cos (α)

Despejamos a = tg (30) x 35 = 20,21 m

2. Un triángulo rectángulo tiene 6 cm de base y 8 cm de altura. ¿Cual será su hipotenusa utilizando razones trigonométricas? Una vez hecho demuéstralo por Pitagoras. 

Las dos formulas para despejar la hipotenusa son:

Sen (α) = a / h

Cos (α) = b / h

Pero nos falta el ángulo. Podemos hallarlo con la tangente tg (α) = a / b = 8 / 6 = 1,333

Por tanto α = arctg (1,3) = 53,23º

Con el ángulo, despejamos hipotenusa de la fórmula del seno o del coseno, obtenemos la solución 

Sen (α) = a / b

h x sen (α) = a

h = a/ sen (α) = 8/ sen (53,23º) = 8/0,8 = 10 cm

Por pitagoras seria h = Raíz de la suma de los catetos al cuadrado = Raíz de (8 x 8 + 6 x 6) = 10 cm

3. Hallar alfa

Ejercicio: Calcular la masa o el peso de dos columnas de granito

 ¡Muy buenas!

Lo primero que tenemos que hacer es recordar la fórmula de la densidad:

d= masa/Volumen

a) Calcular la masa de una columna de granito sabiendo que la densidad= (2,7 g/cm3), altura 4 m y la anchura 1,25 m.

Despejando la masa de la fórmula de la densidad tenemos que

m = d x V

La densidad la tenemos pero no el Volumen, asique calculamos el Volumen:

Volumen cilindro = Ab x h = 𝝅r² x h = 3,14 x 0,65 x 0,65 x 4 = 4,906 m3

Tenemos el volumen, pero hay un problema la densidad está en cm 3

1 cm3 = 1/(1000 x 1000) = 0,000001 m3

Por tanto:

masa = 2,7/0,000001 x 4,906 = 13 246 200 gr = 13 246,2 Kg = 13,246 t

b) Calcular la masa de una columna de granito sabiendo que la densidad= (2,7 g/cm3), de dimensiones dobladas con la anterior ( altura 8 m y anchura 2,5 m)

Volumen cilindro = Ab x h = 𝝅r² x h = 3,14 x 1,25 x 1,25 x 8 = 39,25 m3

Tenemos el volumen, pero hay un problema la densidad está en cm 3

1 cm3 = 1/(1000 x 1000) = 0,000001 m3

Por tanto:

masa = 2,7/0,000001 x 39,25 = 105 975 000

Diseño de un edificio con rectángulos Aureos

Buenas a todos!

Después de este puente comenzamos un ejercicio nuevo y esta vez se trata de dibujar un edificio, casa... con rectángulos Aureos.

Os presento el diseño que he realizado, ¡Espero que os guste!

Realización de espiral Aurea mediante AUTOCAD

Buenas tardes 😄

Os voy a enseñar cómo he realizado mi ejercicio de espiral Aurea paso por paso con AUTOCAD

Entramos en https://web.autocad.com

Nuevo dibujo

Realizamos el Rectángulo Áureo a partir de un cuadrado de 100 x 100:

Activamos herramienta de rectángulo:

• Marcamos el punto inicial y pulsamos enter.
• En la barra de comandos pulsamos la palabra cotas.
• Escribimos la anchura: 100 y pulsamos enter.
• Escribimos la altura: 100 y pulsamos enter.
• pulsamos en la zona en la que queremos orientar el cuadrado.
• Pulsamos el botón de extender zoom para conseguir que un rectángulo grande

Activamos la herramienta de línea

• Pulsamos el botón refent y activamos el punto medio (si no está activado)
• Encontramos el punto medio de lado inferior, pulsamos enter y tiramos la línea a la esquina superior derecha del cuadrado y pulsamos enter. Luego esc.

Activamos la herramienta de círculo.

• Pulsamos en el punto medio del lado inferior
• Tiramos un círculo que pase por la esquina superior derecha.

Activamos línea

• De la esquina inferior derecha del cuadrado, tiramos una horizontal hasta el círculo.
• De esta intersección, nos vamos a la esquina superior derecha del cuadrado y, sin presionar, buscamos una horizontal hasta la vertical que sale de la intersección anterior. Es decir:

 

Borrando líneas, tenemos la forma clásica del rectángulo Áureo con a= 100

Ahora vamos a construir una ESPIRAL AUREA

Para ello primero tenemos que dibujar en el rectángulo Áureo las siguientes diagonales:

Y luego las siguientes líneas en las intersecciones:

Finalmente trazamos las curvas de la espiral con la herramienta círculo, borrando con la herramienta recorta (modo, rápido) y damos color selecciónando las partes de la espiral y pulsando el color que más nos guste:

RESULTADO FINAL DEL EJERCICIO

Ejercicio sobre razones aureas (proporción Aurea y Rectángulo Áureo)

Muy buenas,

Hoy vamos a realizar una ejercicio sobre la proporción y el rectángulo Áureo, muy importante en el diseño, en construcción e incluso los folios y las televisiones tienen sus dimensiones, es un rectángulo  que tiene de longitud a + b y de anchura a.

Lo primero os voy a compartir un vídeo explicando todos estos conceptos

 Video explicativo:

Tenemos un rectángulo Áureo y sabemos que la dimensión de un lado del rectángulo (lado corto) es de 20 cm. Calcula sus dimensiones.

Para hallar b utilizamos la ecuación de la razón Aurea:

a/b = (a+b)/a = 1,618

20/b = 1,618 

b = 20/1,618 = 12,36 cm 

Por lo tanto la suma de a=20 +  b=12,36 será igual a+b=32,36 

Para hallar su ÁREA habrá que multiplicar a x (a + b)

20 x 32,36 = 647, 2 cm2

Este es el modo de realizar el rectángulo ÁUREO en Autocad

Ejercicio de Proporcionalidad (conceptos basicos)

Buenas tardes ✌🏽

Hoy en clase hemos realizado el siguiente ejercicio sobre proporcionalidad y os lo voy a explicar:

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir una, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Ej.: El peso y el precio. Si aumentamos el peso de un producto el doble, el triple, etc., su precio también aumenta el doble, el triple, etc. Podemos construir una tabla de valores:

Peso (kg)         1        2        3        4        5
Precio (€)        3        6        9        12      15

Entre los términos correspondientes de las dos magnitudes de esta tabla se establece una proporcionalidad de la siguiente manera:

1/3 = 2/6 = 3/9 =4/12 = 5/15 = 0,33

Cada una de estas fracciones se llama razón y al término que está arriba se le llama antecedente y al que está abajo, consecuente.

La constante de proporcionalidad es el valor común entre el antecedente y el consecuente.

Vamos a verlo con un ejemplo:

¿En una clase la razón entre el número de hombres y mujeres es de 5 a 8, si en total hay 65 alumnos ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la clase?

La razón de proporcionalidad es h/m = 5/8

Si k es la constante de proporcionalidad, entonces:

Total alumnos será = hombres + mujeres = 5 × k + 8 × k = 65

13k =  65 y, por tanto:

k = 65/13= 5 (Valor común para el antecedente y el consecuente para cualquier total)

¡Con este resultado no termina el ejercicio! la k tenemos que multiplicarla por el numerador y el denominador de la razón) 

Número de Hombres = 5 × k = 5 × 5 = 25

Número de Mujeres = 8 × k = 8 × 5 = 40